Macroéconomie — Résolution simultanée d'IS-LM et statique comparative

Macroéconomie — deux flèches ne remplacent pas une résolution simultanée

Les chapitres 4 et 7 déplaçaient des courbes pour en lire le signe et l’ampleur des effets. Ce chapitre résout le même modèle comme un système d’équations et écrit l’équilibre et les coefficients de statique comparative sous forme générale. Ces formules sont nécessaires pour répondre à la question « de combien » et savoir d’où viennent les chiffres des simulations de politique économique.

1. Écrire le système d’équations

On écrit IS et LM ainsi.

$\text{IS : } Y=\alpha-\beta r+\gamma G,\qquad \text{LM : } \frac{M}{P}=\lambda Y-\mu r$

$\beta$ est la réaction de la dépense au taux d’intérêt (multiplicateur compris), $\gamma$ le multiplicateur des dépenses publiques, $\lambda$ la sensibilité de la demande de monnaie au revenu et $\mu$ sa sensibilité au taux. En regroupant à gauche les variables endogènes $Y$ et $r$ , on obtient

Forme matricielle

\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \lambda & -\mu \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Y \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha+\gamma G \\ M/P \end{pmatrix}

Le déterminant de la matrice des coefficients vaut −(μ + βλ), non nul : la solution est unique. La résolution de systèmes par les matrices est traitée au chapitre 5 de mathématiques pour l'économie.

La règle de Cramer donne

Production et taux d'intérêt d'équilibre

Y^*=\frac{\mu(\alpha+\gamma G)+\beta\,M/P}{\mu+\beta\lambda},\qquad r^*=\frac{\lambda(\alpha+\gamma G)-M/P}{\mu+\beta\lambda}

Le dénominateur μ + βλ traduit l'interaction entre les deux marchés. Les numérateurs montrent comment se combinent les variables exogènes du marché des biens et du marché de la monnaie.

2. Vérification avec les chiffres précédents

L’économie du chapitre 4 a $\alpha=260$ , $\beta=10$ , $\gamma=5$ , $G=30$ , $\lambda=0{,}5$ , $\mu=20$ et $M/P=180$ .

$Y^*=\dfrac{20\times 410+10\times 180}{20+5}=\dfrac{10\,000}{25}=400$
$r^*=\dfrac{0{,}5\times 410-180}{25}=\dfrac{25}{25}=1\,\%$

On retrouve la solution graphique du chapitre 4.

3. Les coefficients de statique comparative

En dérivant les formules d’équilibre par rapport aux variables exogènes, on obtient les effets des politiques.

Coefficients de statique comparative et leurs valeurs dans cette économie
Coefficient	Formule générale	Valeur	Vérification avec le chapitre 4
dY/dG	μγ/(μ+βλ)	4	G +10 → Y +40
dr/dG	λγ/(μ+βλ)	0,1	G +10 → r +1 point
dY/d(M/P)	β/(μ+βλ)	0,4	M/P +20 → Y +8
dr/d(M/P)	−1/(μ+βλ)	−0,04	M/P +20 → r −0,8 point

Le $\mu\gamma/(\mu+\beta\lambda)$ de la première ligne est identique au $\gamma/(1+\beta\lambda/\mu)$ du chapitre 7. Le tableau des coefficients montre à quoi correspond chaque paramètre dans le raisonnement économique.

Quand un paramètre augmente
Paramètre	Effet budgétaire	Effet monétaire	Raison
γ (multiplicateur)	Plus grand	—	Une même dépense crée plus de demande
β (sensibilité de la dépense au taux)	Plus petit	Plus grand	Les variations de taux modifient fortement la dépense (plus d'éviction, canal monétaire plus fort)
λ (sensibilité de la demande de monnaie au revenu)	Plus petit	Plus petit	Le taux monte davantage quand la production augmente
μ (sensibilité de la demande de monnaie au taux)	Plus grand	Plus petit	LM devient plus plate

4. Le plancher des taux rompt la solution linéaire

Si l’on porte les encaisses réelles à 220, la solution linéaire donne $Y^*=(20\times 410+10\times 220)/25=416$ et $r^*=(205-220)/25=-0{,}6\,\%$ . Mais le taux nominal ne peut descendre nettement sous zéro. L’équilibre effectif est $Y=410$ , fixé par IS à taux nul ; à taux nul et pour une production de 410, les encaisses réelles nécessaires valent $0{,}5\times 410=205$ , si bien que tout ce qui dépasse 205 ne fait pas bouger la production. Dès que le taux touche zéro, LM devient de fait horizontale et l’on entre dans la zone de trappe à liquidité du chapitre 7.

Le plancher des taux et les limites de l'expansion monétaire

Le modèle linéaire prédit un taux de −0,6 % et une production de 416, mais en raison du plancher des taux, l'équilibre effectif reste à un taux nul et une production de 410.

Exercice

Si $\mu$ passe de 20 à 5 (LM plus pentue), que deviennent les multiplicateurs budgétaire et monétaire ? Le dénominateur $\mu+\beta\lambda$ vaut $5+5=10$ . $dY/dG=5\times 5/10=2{,}5$ et $dY/d(M/P)=10/10=1$ . L’effet budgétaire passe de 4 à 2,5 et l’effet monétaire de 0,4 à 1 : le même résultat que le tableau du chapitre 7.

Références

John Hicks, “Mr. Keynes and the ‘Classics’,” Econometrica (1937)
Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 5, 8
N. Gregory Mankiw, Macroeconomics, ch. 12