宏观经济学 — IS-LM联立求解与比较静态

宏观经济学 — 两个箭头代替不了联立解

第4章和第7章通过移动曲线来看符号和大小。本章把同一个模型当作联立方程组求解，用一般式写出均衡和比较静态系数。要回答”多少”的问题、弄清政策模拟中的数字从何而来，就需要这些式子。

1. 写成联立方程组

把IS和LM写成如下形式。

$\text{IS: } Y=\alpha-\beta r+\gamma G,\qquad \text{LM: } \frac{M}{P}=\lambda Y-\mu r$

$\beta$ 是支出对利率的反应(含乘数)， $\gamma$ 是政府支出乘数， $\lambda$ 是货币需求对收入的敏感度， $\mu$ 是对利率的敏感度。把内生变量 $Y$ 、 $r$ 移到左边，得

矩阵形式

\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \lambda & -\mu \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Y \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha+\gamma G \\ M/P \end{pmatrix}

系数矩阵的行列式为−(μ + βλ)，不为零，因此有唯一解。用矩阵求解联立方程组的方法在经济数学第5章中讨论。

用克莱姆法则求解，得

均衡产出与利率

Y^*=\frac{\mu(\alpha+\gamma G)+\beta\,M/P}{\mu+\beta\lambda},\qquad r^*=\frac{\lambda(\alpha+\gamma G)-M/P}{\mu+\beta\lambda}

分母μ + βλ体现了两个市场的相互作用。分子分别显示产品市场和货币市场的外生变量如何组合。

2. 用前几章的数值检验

第4章的经济中， $\alpha=260$ ， $\beta=10$ ， $\gamma=5$ ， $G=30$ ， $\lambda=0.5$ ， $\mu=20$ ， $M/P=180$ 。

$Y^*=\dfrac{20\times 410+10\times 180}{20+5}=\dfrac{10{,}000}{25}=400$
$r^*=\dfrac{0.5\times 410-180}{25}=\dfrac{25}{25}=1\%$

与第4章的图解结果相同。

3. 比较静态系数

把均衡式对外生变量求导，就得到政策效果。

比较静态系数及其在本经济中的取值
系数	一般式	取值	与第4章结果对照
dY/dG	μγ/(μ+βλ)	4	G +10 → Y +40
dr/dG	λγ/(μ+βλ)	0.1	G +10 → r +1个百分点
dY/d(M/P)	β/(μ+βλ)	0.4	M/P +20 → Y +8
dr/d(M/P)	−1/(μ+βλ)	−0.04	M/P +20 → r −0.8个百分点

第一行的 $\mu\gamma/(\mu+\beta\lambda)$ 与第7章的 $\gamma/(1+\beta\lambda/\mu)$ 是同一个式子。从系数表可以看出各参数与经济逻辑的对应关系。

参数变大时
参数	财政效果	货币效果	原因
γ(乘数)	变大	—	同样的支出创造更多需求
β(支出的利率敏感度)	变小	变大	利率变化会大幅改变支出(挤出↑、货币渠道↑)
λ(货币需求的收入敏感度)	变小	变小	产出增加时利率上升更多
μ(货币需求的利率敏感度)	变大	变小	LM变得平坦

4. 利率下限打破线性解

若把实际余额大幅增加到220，线性解为 $Y^*=(20\times 410+10\times 220)/25=416$ ， $r^*=(205-220)/25=-0.6\%$ 。但名义利率不能大幅降到零以下。实际均衡是利率为0时由IS决定的 $Y=410$ ;在利率0、产出410时所需的实际余额为 $0.5\times 410=205$ ，因此超过205的部分无法推动产出。利率触及0的那一刻，LM实际上变为水平，进入第7章的流动性陷阱区域。

利率下限与货币扩张的极限

线性模型预测利率−0.6%、产出416，但由于利率下限，实际均衡停留在利率0、产出410。

练习题

若 $\mu$ 从20降到5(LM变陡)，财政乘数和货币乘数会怎样?分母 $\mu+\beta\lambda$ 变为 $5+5=10$ 。 $dY/dG=5\times 5/10=2.5$ ， $dY/d(M/P)=10/10=1$ 。财政效果从4降到2.5，货币效果从0.4升到1，与第7章表中的结果相同。

参考资料

John Hicks, “Mr. Keynes and the ‘Classics’,” Econometrica (1937)
Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 5, 8
N. Gregory Mankiw, Macroeconomics, ch. 12