Macroeconomía — Resolución simultánea de IS-LM y estática comparativa

Macroeconomía — dos flechas no sustituyen a una solución simultánea

Los capítulos 4 y 7 desplazaban curvas para ver signos y magnitudes. Este capítulo resuelve el mismo modelo como un sistema de ecuaciones y escribe el equilibrio y los coeficientes de estática comparativa en forma general. Estas fórmulas hacen falta para responder a «cuánto» y para saber de dónde salen las cifras de las simulaciones de política.

1. Escribir el sistema de ecuaciones

Escribimos la IS y la LM así.

$\text{IS: } Y=\alpha-\beta r+\gamma G,\qquad \text{LM: } \frac{M}{P}=\lambda Y-\mu r$

$\beta$ es la respuesta del gasto al tipo de interés (multiplicador incluido), $\gamma$ el multiplicador del gasto público, $\lambda$ la sensibilidad de la demanda de dinero a la renta y $\mu$ su sensibilidad al tipo de interés. Agrupando a la izquierda las variables endógenas $Y$ y $r$ , se obtiene

Forma matricial

\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \lambda & -\mu \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Y \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha+\gamma G \\ M/P \end{pmatrix}

El determinante de la matriz de coeficientes es −(μ + βλ), distinto de cero, así que la solución es única. La resolución de sistemas con matrices se trata en el capítulo 5 de matemáticas para economía.

Con la regla de Cramer se obtiene

Producción y tipo de interés de equilibrio

Y^*=\frac{\mu(\alpha+\gamma G)+\beta\,M/P}{\mu+\beta\lambda},\qquad r^*=\frac{\lambda(\alpha+\gamma G)-M/P}{\mu+\beta\lambda}

El denominador μ + βλ recoge la interacción entre los dos mercados. Los numeradores muestran cómo se combinan las variables exógenas del mercado de bienes y del mercado de dinero.

2. Comprobación con las cifras anteriores

La economía del capítulo 4 tiene $\alpha=260$ , $\beta=10$ , $\gamma=5$ , $G=30$ , $\lambda=0{,}5$ , $\mu=20$ y $M/P=180$ .

$Y^*=\dfrac{20\times 410+10\times 180}{20+5}=\dfrac{10.000}{25}=400$
$r^*=\dfrac{0{,}5\times 410-180}{25}=\dfrac{25}{25}=1\,\%$

Coincide con la solución gráfica del capítulo 4.

3. Los coeficientes de estática comparativa

Derivando las fórmulas de equilibrio respecto a las variables exógenas se obtienen los efectos de las políticas.

Coeficientes de estática comparativa y sus valores en esta economía
Coeficiente	Fórmula general	Valor	Comprobación con el capítulo 4
dY/dG	μγ/(μ+βλ)	4	G +10 → Y +40
dr/dG	λγ/(μ+βλ)	0,1	G +10 → r +1 punto
dY/d(M/P)	β/(μ+βλ)	0,4	M/P +20 → Y +8
dr/d(M/P)	−1/(μ+βλ)	−0,04	M/P +20 → r −0,8 puntos

El $\mu\gamma/(\mu+\beta\lambda)$ de la primera fila es la misma expresión que el $\gamma/(1+\beta\lambda/\mu)$ del capítulo 7. La tabla de coeficientes muestra a qué parte del razonamiento corresponde cada parámetro.

Cuando un parámetro aumenta
Parámetro	Efecto fiscal	Efecto monetario	Razón
γ (multiplicador)	Mayor	—	El mismo gasto crea más demanda
β (sensibilidad del gasto al tipo)	Menor	Mayor	Los cambios de tipo mueven mucho el gasto (más expulsión, canal monetario más fuerte)
λ (sensibilidad de la demanda de dinero a la renta)	Menor	Menor	El tipo sube más cuando aumenta la producción
μ (sensibilidad de la demanda de dinero al tipo)	Mayor	Menor	La LM se vuelve más plana

4. El límite inferior de los tipos rompe la solución lineal

Si los saldos reales se elevan a 220, la solución lineal da $Y^*=(20\times 410+10\times 220)/25=416$ y $r^*=(205-220)/25=-0{,}6\,\%$ . Pero el tipo nominal no puede bajar mucho de cero. El equilibrio efectivo es $Y=410$ , que fija la IS con tipo cero; con tipo cero y producción de 410, los saldos reales necesarios son $0{,}5\times 410=205$ , así que todo lo que supere 205 no mueve la producción. En cuanto el tipo toca cero, la LM se vuelve de hecho horizontal y se entra en la zona de trampa de liquidez del capítulo 7.

El límite inferior y los límites de la expansión monetaria

El modelo lineal predice un tipo de −0,6 % y una producción de 416, pero por el límite inferior de los tipos el equilibrio efectivo se queda en tipo cero y producción de 410.

Ejercicio

Si $\mu$ baja de 20 a 5 (la LM se vuelve más empinada), ¿qué ocurre con los multiplicadores fiscal y monetario? El denominador $\mu+\beta\lambda$ pasa a ser $5+5=10$ . $dY/dG=5\times 5/10=2{,}5$ y $dY/d(M/P)=10/10=1$ . El efecto fiscal baja de 4 a 2,5 y el monetario sube de 0,4 a 1: el mismo resultado que la tabla del capítulo 7.

Referencias

John Hicks, “Mr. Keynes and the ‘Classics’,” Econometrica (1937)
Alpha Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, ch. 5, 8
N. Gregory Mankiw, Macroeconomics, ch. 12