이자율 모형 입문: 금리의 확률적 이동

이자율 모형: 돈의 가격에 대한 지도

먼저 답하면: Vasicek 모형은 단기금리 $r_t$ 가 장기 평균 $\theta$ 로 돌아가되 무작위 충격도 받는다고 봅니다. 식은 $dr_t = \kappa(\theta-r_t)dt + \sigma dW_t$ 이며, $\kappa$ 는 평균회귀 속도, $\sigma$ 는 변동성입니다.

지금까지 우리는 이자율( $r$ )을 고정된 상수로 보았습니다. 하지만 실무적으로 10년, 20년짜리 상품을 다룰 때 이자율은 끊임없이 변하는 확률 변수입니다. 이자율 모형은 이 무작위한 움직임 속에 ‘평균으로 돌아오려는 성질’을 부여합니다.

1. 평균 회귀(Mean Reversion)의 개념

주가와 달리 이자율은 무한히 오르거나 0 아래로(일반적인 경우) 내려가기 어렵습니다. 너무 높으면 경제가 위축되어 내려오고, 너무 낮으면 다시 올라오는 성질을 가집니다.

단기 금리 측정

현재 시장의 가장 짧은 기간 금리(Short Rate)를 확인합니다.

중심점(Mean) 설정

금리가 장기적으로 머물 것으로 예상되는 수준을 정의합니다.

회귀 속도 결정

중심점에서 멀어졌을 때 얼마나 빨리 돌아올지($kappa$)를 설정합니다.

무작위 충격 부여

예측 불가능한 시장의 소음(Volatility)을 추가합니다.

2. 대표적인 단기 금리 모형 비교

수학적 구조에 따라 금리의 특성이 달라집니다.

Vasicek vs CIR 모형 비교
모형명	핵심 방정식 특징	금리의 성질	장점 및 단점
Vasicek 모형	상수 변동성 (Normal)	금리가 음수가 될 가능성 있음	수학적으로 깔끔하고 분석이 쉬움
CIR 모형	금리의 제곱근 비례 변동성	금리가 항상 0 이상으로 유지됨	현실적이지만 수학적 처리가 상대적으로 복잡함
Hull-White	시간에 따라 변하는 파라미터	현재의 금리 기간 구조를 100% 반영	실무적으로 가장 널리 쓰임

3. 금리 시뮬레이션: 평균 회귀의 시각화

아래 차트는 Vasicek 모형에서 금리가 특정 수준(3%)을 중심으로 어떻게 수렴해가는지 보여주는 시나리오입니다.

이자율 시나리오 시뮬레이션 (평균 3% 가정)

현재 금리가 낮더라도(1%) 시간이 흐를수록 설정된 평균값(3%)으로 수렴하는 패턴을 보여줍니다.

현재 (T0)

1.8

1년 후

2.5

3년 후

2.9

5년 후

10년 후

Vasicek 평균회귀 계산 예제

무작위 충격의 평균을 0으로 두면 $t$ 년 뒤 단기금리의 조건부 기대값은 다음과 같습니다.

E[r(t)] = θ + (r₀ - θ)e^(-κt)

r₀ = 1%, θ = 3%, κ = 0.5, t = 2년
E[r(2)] = 3% + (1% - 3%)e^(-1)
        ≈ 2.26%

현재 금리가 1%여도 2년 뒤 기대값은 장기 평균 3% 쪽으로 이동합니다. 다만 2.26%는 확정 금리가 아니라 기대 경로입니다. 실제 한 경로는 $\sigma dW_t$ 충격 때문에 이보다 높거나 낮을 수 있습니다. 또한 Vasicek의 정규분포 가정은 음의 금리도 허용한다는 한계가 있습니다.

💡 교수님의 팁

이자율 모형은 채권뿐만 아니라 연금 계리, 보험사의 ALM(자산 부채 관리)에서도 핵심입니다. 특히 장기 부채를 가진 기관들은 금리가 0.1%만 변해도 부채 가치가 수천억 원씩 변하기 때문에, 이 확률적 이동을 정교하게 모델링하는 것이 생존의 문제입니다.

🔗 다음 단계

출처

Federal Reserve — Vasicek 단일요인 모형과 평균회귀 식